Свойства пределов выражаемые равенствами

1. Предел постоянной числовой последовательности есть сама последовательность. limn→∞C=C

2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела limCxn=C limxn

3. Предел суммы 2х числ. последовательностей равен сумме пределов

lim(xn+yn)=limxn+limyn

4. предел произведения 2х числ. послед. равен произведению пределов

lim(xnyn) =limxnlimyn

Док-во: x=limn→∞xn y=limn→∞yn, yn=y+βn xn=x+αn, αn,βn – БМВ

limxnlimyn=lim((x+αn)(y+βn))=lim(xy+xβn+ yαn+αnβn)=limxy+limxβn+limyαn+limαnβn=xy= limxnlimyn

5. lim(xn/yn) =limxn/limyn, limyn≠0

Свойства пределов выражаемые неравенствами

1) Tеорема о предельном переходе в неравенство: Пусть для всех хn, хn не превосходит yn, тогда предел хn не превосходит yn.

Док-во:

x=limn→∞хn, y=limn→∞yn

I x≤y II x>y – не выполн.

рассм II.

пусть x-y/2=ξ

ξ>0, сущ. Nξ(N||ξ), такое что для всех n>Nξ(n>N||ξ) и |хn-x|<ξ(|yn-y|<ξ). nξ=max N|ξ, N||ξ y

x-ξ< хn

y-ξ< yn y – не верно.

2) если f(x)>0 вблизи точки x=a и limx→af(x)=A, то А>0

3) если g(x)≤f(x)≤u(x) вблизи х=а, то и limf(x)=limg(x)=limu(x)=A

4) если ф-ция f(x) имеет конечный предел при х→а, то она ограничена вблизи точки х=а.

Док-во:

пусть limx→af(x)=A; т.е. |f(x)-A|<ξ, тогда

|f(x)|=|f(x)-A+A|≤|f(x)-A|+|A| или |f(x)|<ξ+|A|, т.е. |f(x)|

6.Принцип вложения отрезков. Теорема о «2х милиционерах»

1. Множество, элементами которого явл. отрезки наз. системой отрезков.

2. Система замкнутых отрезков [an,bn] назыв. стягивающей если а) Vn[an+1,bn+1] [an,bn], т.е. каждый посл. отрезок расположен внутри предыдущего. б) bn-an→0, n→∞, т.е. длины отрезков стремятся к 0. в) для любой системы замкнутых стягивающих отрезков сущ. единств. точка, принадлежащая всем отрезкам. Док-во:

1. рассм. множество {an} левых концов наших отрезков. Очевидно что: а) an↑ б) сущ. n, an

2. рассм. множество {bn} правых концов наших отрезков => a) bn ↓ б) сущ. n bn>a1, поэтому сущ. limn→∞bn

3. Т.к. по усл. limn→∞(bn-an)=0, то limn→∞bn- limn→∞an=0 => limn→∞an= limn→∞bn, обозначим этот общ. предел через с.



4. т.к. an↑ а bn ↓, то очевидно что сущ аn≤с≤b, т.е. точка С€[an,bn] (она принадлежит всем отрезкам сразу)

Теорема о «2х милиционерах»

Пусть имеется 3 числ. последовательности {хn},{yn},{zn} и между членами этих последовательностей выполняется неравенство: хn≤zn≤yn

тогда, если limn→0хn= limn→0yn, то limn→0zn существует.

P=limn→0хn= limn→0y => limn→0zn=P

Док-во:

Возьмем ξ>0, подберем n>N|, чтобы |хn-P|N||, |yn-P|<ξ

теперь с учетом условия:

хn≤zn≤yn

P-ξ

P-ξ

P-ξ< хn≤zn≤ynN = max

|zn-P|<ξ – выполняется.

Определение предела функции

1) x R

f:x→R

Пусть x0 – предельная точка для множества X. Число А назыв. пределом функции f(x) в точке x0,если для любого ξ>0 найдется Δ окрестность точки x0(Vξ(x0)) такая, что для всех x≠x0 и принадл. пересеч. Δ окрестности с множеством X (x€Vξ(x0) X), выполняется неравенство: |f(x)-A|<ξ(только для конечной точки), f(x)€Vξ(A) f(x) принадлежит эпсилон окрестности точки А.

Определение предела по КОШИ:

2) x0-…х, то А – предел. Если последовательность xn→x0(xn≠x0) множество значений yn=f(xn)→А

Предел функции:

Пусть функция y=f(x) определена на множестве D. Число а называется пределом ф-ции y=f(x) в точке x0 и пишут limf(x)= an, если для любого ξ>0 сущ. Δ(ξ)>0 такое что для любого x€D



0<|x-x0|<Δξ след нер-во |f(x)-a|<ξ

Критерий Коши:

Для того чтоб ф. y=f(x) имела предел в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы для любого ξ>0 сущ. Δ(ξ)>0 такая что |f|(x)-f||(x)|<ξ, как только |x|- x0|<Δ(ξ) и |x||- x0|<Δξ. Говорят что число а есть предел функции y=f(x) при x, стремящимся к бесконечности и пишут limx→∞f(x)=а, если для любого ξ>0 сущ. число A(ξ)>0, такое что |f(x)-a|A(ξ)


7829979635699069.html
7830010494874858.html
    PR.RU™